Em certo sentido, Pontes de Miranda (1892-1979) foi um jurista cartesiano. Nas Regras para a Direção do Espírito, Descartes escreveu: "Pareceu-me por fim óbvio relacionar com a matemática tudo aquilo em que apenas se examina a ordem e a medida" (IV, p. 29). A ciência do direito examina a ordem jurídica. Um jurista de confissão cartesiana se esforçaria para pensar, a um só tempo, a matemática e a ciência do direito. Esse esforço está presente em toda o corpus ponteano, em especial no Sistema de Ciência Positiva do Direito (1ª edição de 1922, 2ª edição de 1972), cujo centenário se completa neste ano.
Talvez Pontes de Miranda tenha sido o único, ou um dos poucos, juristas cartesianos de seu tempo. No século passado, a atitude da comunidade jurídica acadêmica em geral em relação ao tema "direito e matemática" era de ceticismo aberto. Em 1957, um jurista tão influente quanto Karl Engisch (1899-1990) argumentava que o método axiomático-dedutivo (o método matemático por excelência) não se aplica ao direito porque o direito não pode ser axiomatizado, ou seja, reduzido a um número fechado e diminuto de conceitos fundamentais (apud LARENZ, p. 230).
Mas, em verdade, tanto ceticismo não se justificava. Conscientemente ou não, Engisch pensava a matemática à maneira de David Hilbert (1862-1943), a saber, como um sistema consistentemente axiomatizável. Em 1931, mais de duas décadas antes de o jurista alemão publicar seu argumento, Kurt Gödel (1906-1978) já havia publicado seus dois teoremas da incompletude, demonstrando que a aritmética não pode ser axiomatizada, ou seja, nenhum conjunto finito e reduzido de axiomas pode demonstrar todas as proposições sobre os números naturais, de forma que sempre haverá proposições indemonstráveis (por exemplo, a conjetura de Goldbach: todo número par é a soma de dois números primos).
Conclusão: como Engisch já poderia saber, não ser consistentemente axiomatizável não significa ser incompatível com o método axiomático-dedutivo, logo não é impossível que o direito seja compatível com a matemática. Ao que parece à luz desse exemplo, não é a premissa dos juristas cartesianos que está errada; é a comunidade jurídica acadêmica que desconhece a matemática do seu tempo.
Nos tempos atuais, embora algo do ceticismo de Engisch persista em abordagens como as de Claus-Wilhelm Canaris e Robert Alexy, observa-se um interesse crescente por temas na interseção do direito com áreas específicas da matemática.
Tópicos de matemática comercial e financeira estão presentes em todos os assuntos do tipo "direito e economia"; noções de probabilidade, estatística descritiva e estatística inferencial são pressupostas em jurimetria. Talvez exista mesmo mais juristas cartesianos hoje do que no século passado, o que pode conduzir, espera-se, a um interesse renovado pela obra de Pontes de Miranda.
Por que matemática?
Outro livro que completa cem anos em 2022 é o Etapas da Filosofia Matemática, de Léon Brunschvicq (1869-1944). Seu prefácio se encerra com uma sentença latina: sophiae germana mathesis, "a matemática é irmã da sabedoria" (BRUNSCHVICQ, 1922, p. XI). Nessa sentença se resume o interesse de muitos filósofos pela matemática.
Pontes de Miranda abre sua introdução à ciência do direito com uma epígrafe de Filolau de Crotona, filósofo pitagórico do final do século V a.C: "Se tudo fosse ilimitado, não poderia constituir objeto de conhecimento" (corresponde ao fr. B 17 Barnes). Para pitagóricos como Filolau, o mundo é formado pela união de dois princípios opostos, o limite e o ilimitado, através do número (KAHN, 2007, p. 42-44); isso explica por que, para eles, tudo no mundo possui número e por que sem número nada pode ser conhecido (fr. B 4 Barnes).
Com poucas variações de detalhe, Pontes de Miranda pensa da mesma forma. "A todos os fatos", ele escreve, "podemos convencionar que corresponda número ou expressão" (Sistema, I, 1, p. 7); correspondência que é, a seu ver, a própria condição da ciência: "A quantitatividade é o que nos guia nas contínuas tentativas para conhecer e influir no mundo" (op. cit., loc. cit.); "o que a Ciência afirma e o que é fecundo para ela é a concepção de que, no mundo, tudo é teoricamente mensurável" (op. cit., 3, p. 10); "em toda a extensão do conhecimento humano começa o quantitativo a substituir, explicativamente, o qualitativo" (op. cit., 5, p. 12).
Longe de estarem obsoletas, passagens como as citadas dialogam com a produção filosófica contemporânea. Em 1988, Alain Badiou publicou O ser e o evento, onde propõe uma sistemática especulativa compreensiva na intersecção entre a ontologia heideggeriana e a matemática pós-cantoriana. Sua tese básica é: "As matemáticas, ao longo de todo o seu devir histórico, pronunciam aquilo que é dizível do ser-enquanto-ser" (BADIOU, 1996, p. 16). Guardadas as devidas diferenças, trata-se da mesma disposição, já vista em Pontes de Miranda e em Filolau, para buscar, na matemática, o fundamento do conhecimento, seja ele o conhecimento do ser (Badiou), do mundo (Filolau) ou do direito (Pontes de Miranda).
O direito e o grafo
Se ciência é ciência do quantitativo e se o conhecimento jurídico é científico — para Pontes de Miranda, as duas proposições são verdadeiras —, então a ciência do direito deve poder se exprimir matematicamente: "[A ciência do direito] deve permitir a explicação matemática, sem que com isso se pretendam cálculos numéricos" (op. cit., 16, p. 24). Isso se verifica. Postulamos a seguinte proposição: a toda relação jurídica podemos convencionar que corresponda um número em uma matriz de adjacência de grafo. Passamos à demonstração dessa proposição, iniciando com a definição de grafo.
Embora o nome "grafo" (graph em inglês) tenha sido criado pelo matemático inglês James Joseph Sylvester (1814-1897), a primeira teorização dos grafos é atribuída ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783). Um grafo se define por um par de conjuntos (SCHEINERMAN, 2016, p. 457). Representamos todo par de elementos entre parênteses, assim: p = (a, b). Os conjuntos são representados entre chaves, assim: c = {a, b}. Usando a letra "G" para designar o grafo e as letras "V" e "A" para designar os conjuntos, definimos um grafo por G = (V, A). V é um conjunto finito de elementos quaisquer. A é um conjunto finito de subconjuntos de dois elementos de V. V é o conjunto dos "vértices" do grafo. A é o conjunto das "arestas" do grafo. Por exemplo:
G = ({1, 2, 3}, {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}})
é um grafo. Ele é formado por um par de conjuntos: o conjunto V = {1, 2, 3} é formado por três elementos, que chamamos vértices: 1, 2 e 3. O conjunto A = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} é formado por três subconjuntos, que chamamos arestas: {1, 2}, {1, 3} e {2, 3}, cada um formado por dois elementos de V: 1 e 2, 1 e 3, 2 e 3.
Todo grafo pode ser representado por meio de uma matriz binária, ou booleana, chamada matriz de adjacência do grafo. Uma matriz é uma tabela. As linhas dessa tabela são indicadas por i e as colunas, por j. Todo elemento dessa tabela ocupa uma posição em i e em j. Na matriz de adjacência do grafo, i e j correspondem aos elementos do conjunto V. Assim, cada entrada da matriz de adjacência relaciona um vértice a um vértice. Adjacência pode ser definida, grosso modo, como a propriedade de entre dois vértices haver uma aresta; nesse caso, dizemos que esses vértices são adjacentes. Na matriz de adjacência, se os vértices relacionados nas entradas forem adjacentes, escrevemos 1; caso contrário, escrevemos 0. A matriz de adjacência do grafo G acima é indicada por
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Nessa matriz, i = j = 1, 2, 3. Na primeira posição (i = j = 1), encontramos o elemento 0 porque, no grafo, o vértice 1 não é adjacente a si mesmo. Na segunda posição (i = 1, j = 2), encontramos o elemento 1 porque, no grafo, os vértices 1 e 2 são adjacentes entre si, como prova a aresta {1, 2}.
Dizemos que a toda relação jurídica podemos convencionar que corresponda um número em uma matriz de adjacência de grafo. Formalizamos a relação jurídica mais simples pela proposição x R y (VILANOVA, 2010, p. 119), em que os termos x e y correspondem a sujeitos de direito diferentes e R é um modal deôntico (de obrigação, proibição ou permissão).
Definimos, então, o conjunto S de sujeitos formado pelos elementos x e y; escrevemos S = {x, y}. Definimos também o conjunto R de relações jurídicas formado por um subconjunto de dois elementos de S [1]; escrevemos R = {x, y}. Definimos o grafo D formado pelo par de conjuntos S e R; escrevemos D = (S, R) ou
D = ({x, y}, {x, y})
A matriz de adjacência do grafo D é dada por
0 1
1 0
Na proposição x R y, R pressupõe sujeitos diferentes (VILANOVA, op. cit., loc. cit.). Ou seja, nunca se dá que x R x ou y R y. Portanto, devemos desconsiderar, na matriz, as entradas que relacionam um vértice em i ao mesmo vértice em j, o que ocorre na primeira (i = j = x) e na última (i = j = y) posições. Essas entradas receberam o valor 0, pois 0 indica vértices não adjacentes, e um vértice nunca é adjacente a si mesmo. Assim, anotamos 1 se, e somente se, R for o caso. Podemos então abstrair a seguinte regra: 1 ↔ R.
Com poucos acréscimos (p.ex., as noções de direção e ponderação em um grafo), o grafo D pode servir como base para representar diversos tipos de relações jurídicas: credor e devedor, comprador e vendedor, nu-proprietário e usufrutuário, pai e filho, autor da herança e herdeiro, permitente e permissionário, empregador e empregado etc.
Certamente podemos conceber uma pluralidade de relações jurídicas e escrever grafos cada vez mais complexos, nos quais a regra 1 ↔ R sempre se verifica. Por exemplo, a matriz de adjacência do grafo
E = ({a, b, c, d, e, f, g, h}, {{a, b}, {a, f}, {a, e}, {b, c}, {c, d}, {c, f}, {f, e}, {g, h}})
é dada por
0 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0
Uma vez que 1 ↔ R, podemos ter certeza de que toda ocorrência de 1 na matriz E representa uma relação jurídica. Uma matriz como essa pode representar, por exemplo, todas as contratações e subcontratações que ocorrem entre oito sujeitos em certo contexto.
Não existe limite para o grafo E. Ou melhor: o grafo E cresce exponencialmente à base dois (2n) à medida em que aumentam as relações jurídicas consideradas.
À guisa de conclusão
Dado que 1 ↔ R, provamos que a toda relação jurídica podemos convencionar que corresponda um número em uma matriz de adjacência de grafo. Isso é suficiente para justificar o esforço de juristas cartesianos, como Pontes de Miranda, para pensar, a um só tempo, a matemática e a ciência do direito.
Desde sua concepção, a teoria dos grafos vem se desenvolvendo constantemente por causa de seu extenso campo de aplicação, em que se pode incluir agora também, de um ponto de vista estritamente especulativo, a relação jurídica. A utilidade tecnológica da teoria dos grafos para o direito, por sua vez, foge ao escopo do nosso argumento aqui, mas é um debate legítimo. Apenas para provocar esse debate, sugerimos duas possibilidades. Pensamos que formalizar relações jurídicas em uma matriz binária pode ter um interesse estatístico, pois matrizes são estruturas de dados facilmente manipuláveis em linguagens de programação estatísticas, notadamente a linguagem R. Assim, seria possível, em tese, dada certa amostra, reduzir um emaranhado de relações jurídicas a uma tabela de apenas dois números, o que, combinado com as demais técnicas da estatística inferencial, pode representar alguma economia de raciocínio. Pode haver também um interesse econômico: na hipótese de haver um coligado complexo de relações jurídicas, e presentes alguns conceitos de teoria dos grafos não tratados neste artigo (p.ex., ponderação, direção e algoritmo de Dijkstra), pode ser possível identificar a combinação ótima com base em um critério dado (menor custo, menor tempo, menor complexidade etc).
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Referências bibliográficas
BADIOU, Alain. O ser e o evento. Trad. M.L.X.A. Borges. Rio de Janeiro: Zahar, 1996.
BARNES, Jonathan. Filósofos pré-socráticos. Trad. J. Fischer. São Paulo: Martins Fontes, 2003.
BRUNSCHVICQ, Léon. Étapes de la philosophie mathématique. Paris: Librairie Félix Alcan, 1922.
DESCARTES, René. Regras para a direção do espírito. Trad. A. Morão. Lisboa: Edições 70, 2017.
KAHN, Charles. Pitágoras e os pitagóricos: uma breve história. Trad. L.C. Borges. São Paulo: Edições Loyola, 2007.
LARENZ, Karl. Metodologia da ciência do direito. Trad. J. Lamego. 8ª Ed. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 2019.
PONTES DE MIRANDA, Francisco Cavalcanti. Sistema de ciência positiva do direito. Tomo I. Introdução à ciência do direito. 2a. Ed. Rio de Janeiro: Editor Borsoi, 1972.
SCHEINERMAN, Edward. Matemática discreta: uma introdução. 3ª. Ed. Trad. N. Brasil. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
VILANOVA, Lourival. As estruturas lógicas e o sistema de direito positivo. São Paulo: Noeses, 2010.
[1] A rigor, o conjunto S não possui apenas dois elementos, mas três, porque o conjunto vazio { } é elemento de qualquer conjunto. Portanto, o conjunto S é formado por dois subconjuntos: {x, y} e { }.
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